Estude Ciências | Trigonometria

O que é Trigonometria?

É a parte da matemática que estuda as propriedades dos ângulos, dos triângulos e de suas semelhanças.

Teorema de Pitágoras

O teorema de pitágoras é uma forma de descobrir os lados de um triângulo, desde que você já saiba 2 deles.

Mas tem um porém: o Teorema de Pitágoras só é válido para Triângulos Retângulos, ou seja, um dos ângulos deve ser de 90⁰.

c² = a² + b²

A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Catetos são os lados próximos ao ângulo de 90⁰. Hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90⁰.

a e b são os catetos, enquanto c é a hipotenusa

Isso também vale para descobrir um dos catetos. Ex:

13² = 5² + b²

Exercícios

Determine a hipotenusa de um triângulo que os catetos medem 3cm e 4cm:

7cm
5cm
12cm
2cm

Mostrar Resposta

B. 5cm

Resolução:

x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
$\sqrt{x²}$ = $\sqrt{25}$ = ±5

Portanto, a resposta é +5, porque, geometricamente falando, não faz sentido um tamanho ser -5.

Dado que a hiponetusa de um triangulo mede 13cm e um dos catetos mede 5cm, determine o outro cateto.

6cm
15cm
12cm
20cm

Mostrar Resposta

C. 12cm

Resolução:

13² = 5² + x²
169 = 25 + x²
169-25 = x²
144 = x²
$\sqrt{144}$ = $\sqrt{x²}$ = ±12

Portanto, a resposta é +12, porque, geometricamente falando, não faz sentido um tamanho ser -12.

Semelhança de Triângulos

Todos esses triângulos são iguais. São idênticos, a menos por um fator de escala.

Se a gente aumentar o tamanho dos triângulos 2 e 3, eles ficam exatamente igual ao triângulo 1.

Isso é chamado Semelhança de triângulos.

Devido à isso, estão corretas as seguintes razões:

Por causa dessa semelhança, foram criadas as funções SENO, COSSENO e TANGENTE, que veremos mais à frente.

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Os triângulos retângulos são usados por um motivo: Eles já possuem um ângulo em comum, o ângulo de 90º.

Isso é bom porque, em um triângulo, a soma dos 3 ângulos internos dão obrigatoriamente 180º

Então, se um já está definido em 90º, você só precisa escolher mais um ângulo X que o terceiro já é definido automaticamente.

Então, se você tem dois triângulos retângulos, e conhece um de seus ângulos, o terceiro ângulo você também vai saber, porque é só fazer a conta:

X = 180 - 90 - θ

Em que X é o ângulo desconhecido e θ é o ângulo que você conhece.

Seno, Cosseno e Tangente.

Vimos que aquela semelhança parece ser bem útil. Então, decidimos dar um nome á cada uma delas. Sendo:

SENO(sen): cateto oposto ao ângulo dividido pela hipotenusa
COSSENO(cos): cateto adjascente ao ângulo dividido pela hipotenusa
TANGENTE(tg): cateto oposto dividido pelo cateto adjascente ou
tg = sen/cos

Lembre-se: Essas Funções Trigonométricas Sen, Cos e Tg são propriedades do ângulo! O ângulo é quem carrega essas propriedades.

Se eu alterar o tamanho do triângulo, posso não alterar Sen, Cos e Tg - por causa da semelhança. Porém, se eu alterar o ângulo, o Sen, Cos e Tg serão alterados, porque, ao fazer isso, as medidas de lado mudam sem manter a proporção.

Ângulos Notáveis

Ângulos Notáveis são ângulos que aparecem muito frequentemente na Matemática e na Física. Por isso é bom a gente se familiarizar-se com eles.

30⁰, 45⁰ e 60⁰

Tabela dos Ângulos Notáveis
	30⁰	45⁰	60⁰
SEN	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
COS	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
TAN	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Siga o passo a passo abaixo para aprender essa tabela!

Tudo que você precisa para construí-la é de um triângulo equilátero e de um triângulo isósceles.

Triângulo equilátero: todos os lados são iguais
Triângulo isósceles: tem 2 lados iguais

Só lembrando: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180⁰

Passo 1:

Se um triângulo equilátero possui todos os lados iguais, também são iguais seus ângulos internos e seus lados.
Então, cada ângulo interno vale 60⁰. Porque: 180⁰ / 3 = 60⁰

OBS: escolhi o lado valendo 2 só para facilitar a conta, mas qualquer valor daria o mesmo resultado no final, já que são todos iguais.

Passo 2:

Divida o triângulo em 2, traçando uma linha vertical saindo de um dos vértices até o centro do lado oposto, como na imagem abaixo.

Aplicando o Teorema de Pitágoras:
2² = 1² + b²
4 = 1 + b²
4 - 1 = b²
3 = b²
$\sqrt{b²}$ = $\sqrt{3}$
$b$ = $\sqrt{3}$
descobriremos que o tamanho dessa reta vertical que traçamos vale $\sqrt{3}$

Passo 3:

Agora, basta aplicarmos a definição de SEN COS e TAN:

Sen(30) = $\frac{1}{2}$

Sen(60) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Cos(30) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Cos(60) = $\frac{1}{2}$

Tan(30) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ x $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Tan(60) = $\frac{\sqrt{3}}{1}$ = $\sqrt{3}$

Passo 4:

Como em um triângulo isósceles 2 lados são iguais, e um dos ângulos é o de 90⁰, então os outros 2 ângulos tem que ser iguais também.

Se um ângulo vale 90 e os outros 2 são iguais:

90 + 2x = 180
2x = 180 - 90
2x = 90
x = $\frac{90}{2}$ = 45

OBS: novamente, escolhi o lado valendo 1 só para facilitar a conta, mas qualquer valor dos lados, daria o mesmo resultado no final, já que 2 lados são iguais, o terceiro também manterá a mesma proporção, independente do tamanho dos lados iguais.

Novamente aplicando pitágoras:
c² = 1² + 1²
c² = 1 + 1
c² = 2
$\sqrt{c²}$ = $\sqrt{2}$
$c$ = $\sqrt{2}$
descobriremos que a hipotenusa vale $\sqrt{3}$

Passo 5: